算数：本当に「分かる」という事③　等差数列その１

こんにちは！

土曜日のスタッフブログ担当の大場です。

本日は、先週お話した植木算の考え方を発展させて、等差数列の公式の本当の意味を考えていきましょう！

さて、そもそも等差数列とはなんなのかというと、その名の通り「等しい差の数の列」です。

この単元は予習シリーズでは４年上の第１６回で扱うのですが(2014年度版)、初めて公式らしい公式が出てくる単元のため、生徒たちとっては大きな壁となっているようです。

この単元で習う公式は次の２つ。

 

①「等差数列のはじめから数えてＮ番目の数」を求める公式

はじめの数+加える数×(Ｎ－１)

 

②「等差数列の和」を求める公式

(はじめの数+終わりの数)×個数÷２

 

２つも覚えるべき公式が出てきて、しかも出だしが同じ「はじめの数～…」なので、生徒たちは大混乱です！

 

他塾でこの公式を習ったある子は、はじめはこの２つがごちゃごちゃになって混ざってしまって、訳がわからない状態になってしまっていました。

それも、公式を言葉だけに頼って覚えてしまっていたからです。

他塾でもきちんと成り立ちを教えてもらっているとは思いますが忘れてしまっているのでしょう。

いわば彼は、魔法の呪文を間違えて覚えたまま唱えてしまって、なんだかよく分からないものを錬成してしまったようなもの。

なぜその数を足すのか、かけるのかも、出てくる答えもちんぷんかんぷんです。

でも、どうしてこの公式になるか？がきちんと理解できれば、公式を忘れてしまっても自分で作り出すことが出来るのです！

 

さて、まず①の、はじめから数えてＮ番目の数を求める方法について考えてみましょう。

例えば、こんな等差数列があったとします。

 

３，５，７，９，１１……

 

これははじめの数が３で、それに次々に２を加えている等差数列ですね。

ということは１１の次は１３、１３の次は１５……と、どんどん２を足していけばこの数列の続きは分かるわけですが、ではこの数列の１００番目を求めろと言われたら？１０００番目を求めろと言われたら？？

 

１００番目くらいなら何とか根性で書き出せるかもしれませんが、さすがに時間がかかるし、どこかで計算ミスをしていたらその努力もおじゃんです！

 

という事で、まず小さい数の範囲で５番目の数はどういう計算で求められるか考えてみましょう。

この等差数列は、はじめの数(３)に次々に２を足していっています。

つまり、

２番目の数ははじめの数に２を１回足した数、

３番目の数ははじめの数に２を２回足した数……となっていくわけです。

 

これを図にしてみるとこんな感じ。

５番目の数までには、２を４回足しているわけですね。

この図、なんだか見覚えがありませんか？

そう、先週説明した、植木算の木の数と間の数の関係と同じですよね！

つまりこの場合は、何番目かが木の数、２を何回足すかが間の数とおなじなので、２を足す回数は必ず何番目という数字より１小さくなるわけです。

 

間の数、覚えてますか？

忘れちゃったら右手を見てみましょう！

 

つまり、はじめから数えて５番目の数までには、２を４回足しているわけです。

２を４回足すと、はじめから２×４＝８増えるわけですから、はじめの数字の３に８を足して、５番目の数は１１になるのです！

 

では、１００番目までには２を何回足しているでしょう？

間の数ですから、１小さい９９回足しているはずですね。

という事は２を９９回足すと２×９９＝１９８ふえるはず。

なので、３＋１９８＝２０１が１００番目の数という事が、全部書かなくても計算で求められるのです。

 

さて、等差数列の初めから何番目を求める考え方は分かりましたか？

 

これを、ひとつの式にまとめたのがはじめに紹介した①の公式なのです。

ひとつの式にまとめたので形は少し違って見えますが、やっていることはさっきと同じ。

はじめから数えてＮ番目(いろんな数字が入るので、文字でＮとしておきます)を求めるには、

まずＮ番目までに何回加える数を足しているかを考えます。

足している回数は間の数ですからＮ－１回ですね。

Ｎ－１回加える数を足しているので、加える数×(Ｎ－１)ではじめからいくつふえるかがわかりますから、最後にはじめの数にそのふえた数(加える数×(Ｎ－１))を足せば答えです。

 

はじめの数+加える数×(Ｎ－１)

 

こうやって考えていくと、公式が作れましたね！

さて、冒頭の公式がごちゃごちゃになっていた彼も、公式の成り立ちを説明すれば

「あ、そういうことか！」

と納得できました。

 

そこでちゃんと理解できたかどうかを確かめるために、彼に先生になってもらってこの公式の意味を説明してもらいました。

「え～、ここはですねぇ、こうなってこうなるからこうなるんですねぇ」

教育番組の教授さながら、大先生のような口ぶりで得意そうに教えてくれました。

「なるほど！よくわかりました先生！」

と言ってあげるとご満悦。

 

これは復習や定着にとても効果的な方法かと思います。

説明を受け身になって聞いているだけでは、理解できているつもりになっても本当に整理しきれていなかったりします。

人に教えられるようにするためには、自分が本当に分かっている必要があるのです。

お家での勉強でも、お母様・お父様がたが是非生徒役になって、大先生の講義を受けてみて下さい！

説明が拙ければ、どんどんつっこむことがコツです。

あの手この手で説明しようと考えることで、問題の本質に気付くことができるのです。

 

さて、話はそれましたが来週は②の公式について考えてみたいと思います。

 

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